Maclaurin lan bosok saka sawetara fungsi

Sinau matématika majeng arep weruh sing jumlah saka seri daya ing interval saka manunggal saka sawetara kita, sawetara dadi lan Unlimited kaping fungsi dibedakno. Pitakonan mengkene: iku bisa kanggo argue sing diwenehi fungsi f kasepakatan (x) - punika jumlah saka seri daya? Sing, ing kahanan apa f-kahanan f (x) bisa dituduhake dening seri daya? Pentinge Jeksa Agung bisa ngetokake iki iku bisa kanggo ngganti kira-kira £ Ilmu Teologi f (x) iku jumlah saka sawetara istilah pisanan saka seri daya, sing polimial a. fungsi panggantos kuwi cukup prasaja expression - polimial - trep lan mecahaken masalah-masalah tartamtu ing analisis matématika, yaiku ing mecahaken integral nalika ngitung pepadhan diferènsial , etc ...

Punika mbuktekaken, sing kanggo sawetara f-ii f (x), endi asale saka (n 1 +) supaya -th bisa diwilang, kalebu paling anyar ing sacedhake (α - R; x ₀ + R) saka titik x = α rumus padha iku:

rumus iki dijenengi sawisé ilmuwan misuwur Brooke Taylor. A sawetara kang asalé saka siji sadurunge, yaiku seri Maclaurin:

A aturan sing ndadekake iku bisa kanggo gawé expansion ing seri Maclaurin:

1. Nemtokake asale saka pisanan, kapindho, katelu, ... supaya.
2. Ngetung apa sing asale ing x = 0.
3. Rekam Maclaurin seri kanggo fungsi iki, lan banjur kanggo nemtokake interval saka manunggal.
4. Nemtokake interval (-R; R), endi part ampas rumus Maclaurin

R _n (x) -> 0 kanggo n -> pandjenengan. Yen salah siji ana, iku fungsi f (x) kudu witjaksono jumlah saka seri Maclaurin.

Coba saiki seri Maclaurin kanggo fungsi individu.

1. Mangkono, pisanan bakal f (x) = e ^x. Mesti wae, sing ciri supaya f-Egy wis asalé macem-macem pesenan, lan f ^{(k) (x)} = e ^x, ing pundi k inggih witjaksono kanggo kabeh wilangan asli. Sulih x = 0. We njupuk f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Adhedhasar kasebut, sawetara e ^x Bakal minangka nderek:

2. seri Maclaurin kanggo fungsi f (x) = dosa x. Langsung nemtokake sing f-kahanan kanggo kabeh asale dingerteni bakal, liyane f ^'(x) = beyo x = dosa (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = dosa (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = dosa (x + n * k / 2), ing pundi k inggih witjaksono kanggo sembarang ongko positif. Sing, nggawe petungan prasaja, kita bisa nganakke sing seri f (x) = dosa x bakal kaya iki:

3. Saiki ayo kang nimbang iju f-f (x) = beyo x. Sampeyan ora dingerteni kanggo kabeh asale saka dhaftar kasepakatan, lan ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Lagi, iku Duwe digawe sawetara petungan, kita temokake yen seri f (x) = beyo x bakal katon kaya iki:

Dadi, kita wis kadhaptar ing fitur paling penting sing bisa ditambahi ing seri Maclaurin, nanging padha njangkepi seri Taylor kanggo sawetara fungsi. Saiki kita bakal dhaftar mau uga. Sampeyan ngirim uga nyatet sing Taylor seri lan seri Maclaurin kalebu bagéyan wigati saka seri workshop pancasan ing matématika luwih. Dadi, Taylor seri.

1. kapisan seri f-ii f (x) = ln (1 + x). Kaya ing conto sadurungé, kanggo kita iki f (x) = ln (1 + x) bisa lempitan nomer, nggunakake awujud umum seri Maclaurin. nanging fitur Maclaurin bisa dipikolehi akeh luwih gampang. Nggabungaken seri geometris, kita diwenehi nomer kanggo f (x) = ln (1 + x) saka sampel:

2. Lan kapindho, kang bakal final ing artikel iki, bakal dadi seri f (x) = arctg x. Kanggo x gadhahanipun interval [-1; 1] iku bosok bener:

Sing kabeh. Ing artikel iki aku wis nliti ing dhèrèt Taylor paling digunakake lan seri Maclaurin ing matématika luwih, utamané ing colleges ekonomi lan technical.