Differentials - apa iki? Carane nggoleki diferensial fungsi?

Bebarengan karo asale fungsi sing differentials - iku sawetara saka konsep dhasar saka kalkulus diferensial, bagean utama saka analisis matématika. Minangka inextricably disambung, wong-wong mau sawetara abad digunakake digunakake ing mecahaken meh kabeh masalah sing jumeneng ing Course kegiatan ngelmu lan technical.

Munculé konsep diferensial

Kanggo pisanan digawe iku cetha sing diferensial kuwi, salah setunggalipun pendiri (bebarengan karo Isaakom Nyutonom) kalkulus diferensial matématikawan Jerman misuwur Gotfrid Vilgelm Leybnits. Sakdurungé matématikawan abad kaping 17. digunakake idea banget cetha lan samar sawetara kakira "sakabeh" samubarang fungsi dikenal, makili Nilai pancet cilik nanging ora padha menyang nul, ing ngisor iki kang angka fungsi ora bisa mung. Empu iku mung siji langkah kanggo pitepangan pangerten saka tambahan kakira bantahan fungsi lan tambahan pamilike fungsi sing bisa ditulis ing syarat-syarat asale saka terakhir. Lan langkah iki dijupuk meh bebarengan ing ndhuwur rong ilmuwan gedhe.

Adhedhasar perlu kanggo alamat urgent masalah mekanika praktis sing ngadepi ilmu kanthi cepet ngembangaken industri lan teknologi, Newton lan Leibniz digawe cara umum nemokake fungsi saka tingkat saka owah-owahan (utamané karo gati kanggo kacepetan mechanical awak saka alur dikenal), ingkang nepangaken konsep kuwi, minangka fungsi turunan lan diferensial, lan uga ditemokaké solusi masalah algoritma kuwalik minangka dikenal saben se (global) kecepatan traversed kanggo golek dalan sing wis mimpin kanggo konsep integral Ala.

Ing karya Leibniz lan Newton idea pisanan muncul sing differentials - punika ingkang ceceg kanggo tambahan bantahan dhasar Δh tambahan fungsi Δu sing kasil bisa Applied kanggo ngetung angka kang terakhir. Ing tembung liyane, padha katutup sing fungsi tambahan bisa uga ing sembarang titik (ing domain sawijining definisi) wis ditulis liwat sawijining turunan loro Δu = y '(x) Δh + αΔh ngendi α Δh - seko, angon raja kanggo nul minangka Δh → 0, akeh luwih cepet tinimbang Δh nyata.

Miturut ngedekke analisis matématika, ing differentials - iki persis tembung pisanan ing tambahan saka fungsi sembarang. Malah tanpa gadhah ditetepake cetha urutan konsep watesan mangertos intuitively sing Nilai diferensial saka turunan cenderung kanggo dienggo nalika Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

Boten kados Newton, sing utamané fisikawan lan apparatus matematika dianggep minangka alat tambahan kanggo nyinaoni masalah fisik, Leibniz mbayar manungsa waé liyane kanggo toolkit iki, kalebu sistem simbol visual lan comprehensible nilai matematika. Iku kang ngajokaken seratan standar differentials fungsi dy = y '(x) DX, DX, lan turunan saka fungsi pitakonan minangka y hubungan' (x) = dy / DX.

Definisi modern

Apa diferensial ing syarat-syarat matématika modhèrn? Punika rapet related kanggo konsep tambahan global. Yen global y njupuk Nilai pisanan y y = _1, banjur y = y _2, prabédan y ₂ ─ y ₁ diarani nilai tambahan y. tambahan bisa dadi positif. negatif lan nul. Tembung "tambahan" ditetepake Δ, Δu ngrekam (maca 'delta y') nyukani arti ing Nilai saka tambahan y. supaya Δu = y ₂ ─ y _1.

Yen Nilai Δu fungsi kasepakatan y = ƒ (x) bisa dituduhake minangka Δu = A Δh + α, ngendi A ora gumantung ing Δh, t. E. A = const kanggo diwenehi x, lan α term nalika Δh → 0 cenderung iku malah luwih cepet tinimbang nyata Δh, banjur pisanan ( "master") istilah ceceg Δh, lan kanggo y = ƒ (x) diferensial, tetenger dy utawa df (x) (maca "y de", "de eff saka X"). Mulane differentials - a "utama" linear bab komponen saka tambahan fungsi Δh.

panjelasan mechanical

Ayo s = f (t) - ing kadohan ing baris terus obah titik materi saka posisi dhisikan (t - wektu lelungan). Tambahan Δs - titik cara sak wektu interval Δt, lan ds diferensial = f '(t) Δt - path iki, kang titik bakal dianakaké kanggo wektu sing padha Δt, yen disimpen ing kacepetan f' (t), tekan ing wektu t . Nalika ds Δt path maye kakira bedo saka Δs nyata infinitesimally gadhah supaya luwih bab Δt. Yen kacepetan ing wektu t ora padha menyang nul, ing ds Nilai kira-kira menehi titik Bias cilik.

interpretasi geometris

Ayo baris L punika grafik saka y = ƒ (x). Banjur Δ x = MQ, Δu = QM '(waca. Tokoh ngisor). Tangent MN ngilangi Δu Cut dadi rong bagéan, QN lan NM '. First lan Δh ingkang ceceg QN = MQ ∙ PG (amba QMN) = Δh f '(x), t. E QN punika diferensial dy.

Ing sisih liya saka prabédan Δu NM'daet ─ dy, nalika Δh → 0 NM dawa 'sudo malah luwih cepet tinimbang tambahan saka pitakonan, IE wis urutan smallness luwih saka Δh. Ing kasus iki, yen f '(x) ≠ 0 (tangent non-podo sapi) perangan QM'i QN padha; ing tembung liyane NM 'sudo kanthi cepet (urutan smallness saka sawijining luwih) saka total tambahan Δu = QM'. Iki bukti ing Figure (nyedhak babagan M'k M NM'sostavlyaet kabeh cilik persentasi QM 'babagan).

Dadi, kanthi grafik differential fungsi kasepakatan padha kanggo tambahan saka koordinasi saka tangent ing.

Turunan lan diferensial

Faktor ing tembung kapisan fungsi tambahan expression punika witjaksono menyang Nilai saka f turunan sawijining '(x). Mangkono, ing ngisor iki hubungan - dy = f '(x) Δh utawa df (x) = f' (x) Δh.

Punika dikenal sing tambahan saka pitakonan sawijining padha kanggo diferensial Δh = DX sawijining. Antarane, kita bisa nulis: f '(x) DX = dy.

Nemokake (kadhangkala ngandika dadi "kaputusan") differentials wis dileksanakake dening aturan padha kanggo asale. Daftar wong-wong mau diwenehi ngisor iki.

Apa liyane universal: tambahan saka pitakonan utawa diferensial sawijining

Kene iku perlu kanggo nggawe sawetara clarifications. Nilai perwakilan f '(x) diferensial Δh bisa nalika ngelingi x minangka pitakonan. Nanging fungsi bisa dadi Komplek, kang x bisa dadi fungsi saka t pitakonan. Banjur perwakilan saka expression diferensial f '(x) Δh, minangka aturan, iku mokal; kajaba ing cilik saka katergantungan linear x = ing + b.

Minangka kanggo rumus f '(x) DX = dy, banjur ing cilik saka sawijining pitakonan x (banjur DX = Δh) ing cilik saka katergantungan paramètrik saka x t, iku diferensial.

Contone, ing expression 2 x Δh kanggo y = x ² diferensial nalika x minangka pitakonan. We saiki x = t ² lan nganggep t pitakonan. Banjur y = x ² = t ^4.

Iki nganti dening (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Empu Δh = 2tΔt + Δt ^2. Empu: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

expression iki ora ceceg kanggo Δt, lan mulane saiki 2xΔh ora differential. Bisa ditemokake saka rumus y = x ² = t ^4. Iku dy witjaksono = 4T ³ Δt.

Yen kita njupuk expression 2xdx, iku diferensial y = x ² kanggo maksud apa pitakonan t. Pancen, nalika x = t ² diwenehi DX = 2tΔt.

Dadi 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4T ³ .DELTA.t, t. E. Ing differentials expression direkam dening kaloro variabel beda pas.

Ngganti tambahan differentials

Yen f '(x) ≠ 0, banjur Δu lan dy padha (nalika Δh → 0); yen f '(x) = 0 (makna lan dy = 0), lagi ora padha.

Contone, yen y = x ^2, banjur Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² lan dy = 2xΔh. Yen x = 3, banjur kita kudu Δu = 6Δh + Δh ² lan dy = 6Δh sing padha karo amarga Δh ² → 0, nalika x = 0 Nilai Δu = Δh ² lan dy = 0 sing ora padha.

Iki kasunyatan, bebarengan karo struktur prasaja saka diferensial ing (m. E. Linearity bab Δh), asring digunakake ing pitungan kira-kira, ing Panyangka sing Δu ≈ dy kanggo Δh cilik. Golek fungsi diferensial biasane luwih gampang saka kanggo ngetung angka pas tambahan ing.

Contone, kita duwe kotak metallic karo pinggiran x = 10.00 cm. On panas pojok lengthened ing Δh = 0,001 cm. Carane tambah volume kotak V? We kudu V = x ^2, supaya DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ¹⁰ Februari 0/01 = 3 (cm ^3). Tambah ΔV padha diferensial DV, supaya ΔV = 3 cm ^3. pitungan Full bakal menehi ³ ΔV = 10,01 ─ Maret ¹⁰ = 3.003001. Nanging asil kabeh digit kajaba ora pisanan; Mulane, iku isih perlu kanggo Babak nganti 3 cm ^3.

Temenan, iki pendekatan punika migunani mung yen bisa ngira Nilai margi karo kesalahan.

fungsi diferensial: conto

Ayo dadi nyoba kanggo nemokake diferensial saka fungsi y = x ^3, nemokake derivatif. Ayo kita menehi tambahan pitakonan Δu lan netepake.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Kene, koefisien A = 3x ² ora gumantung ing Δh, supaya tembung kapisan ceceg Δh, liyane anggota 3xΔh Δh ² + ³ nalika Δh → 0 sudo luwih cepet tinimbang tambahan saka pitakonan. Akibate, anggota 3x ² Δh punika diferensial saka y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² DX utawa d (x ³⁾ = 3x ² DX.

Endi d (x ³⁾ / DX = 3x ^2.

Dy We saiki golek fungsi y = 1 / x dening derivatif. Banjur d (1 / x) / DX = ─1 / x ^2. Mulane dy = ─ Δh / x ^2.

Differentials fungsi aljabar dhasar sing diwenehi ing ngisor iki.

petungan kira-kira nggunakake diferensial

Kanggo ngira-ngira fungsi f (x), lan sawijining turunan f '(x) ing x = a asring angel, nanging apa padha ing sacedhake x = a ora gampang. Banjur teka menyang sepindah saka expression kira-kira

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Iki menehi nilai kira-kira saka fungsi ing tambahan cilik liwat diferensial sawijining Δh f '(a) Δh.

Mulane, rumus iki menehi expression kira-kira kanggo fungsi ing titik pungkasan bagean saka dawane Δh minangka jumlah regane sawijining ing titik wiwitan saka bagean (x = a) lan diferensial ing titik wiwitan padha. Akurasi cara kanggo nentokake angka saka fungsi ing ngisor iki nggambaraké drawing.

Nanging dikenal lan ekspresi pas kanggo ing Nilai saka fungsi x = a + Δh diwenehi dening tambahan wates rumus (utawa, Utawa, rumus Lagrange kang)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

endi titik x = a + ξ ing interval saka x = a kanggo x = a + Δh, sanajan posisi pas ora dingerteni. Pas rumus ngidini kanggo ngira-ngira kesalahan saka rumus kira-kira. Yen kita sijine ing Lagrange rumus ξ = Δh / 2, sanajan iku ceases dadi akurat, nanging menehi, minangka aturan, pendekatan luwih akeh tinimbang expression asli ing syarat-syarat diferensial ing.

rumus Evaluation kesalahan dening nglamar diferensial

Measuring instruments , ing asas, ora pas, lan nggawa menyang data Takeran cocog kanggo kesalahan. Lagi ditondoi dening matesi kesalahan mutlak, utawa, ing cendhak, kesalahan watesan - positif, cetha banget kesalahan ing Nilai Absolute (utawa ing paling witjaksono kanggo iku). Matesi kesalahan relatif diarani quotient dijupuk dening misahake kanthi Nilai Absolute Nilai diukur.

Ayo pas rumus y = ƒ (x) fungsi digunakake kanggo vychislyaeniya y, nanging ing Nilai saka x asil pangukuran, lan mulane ndadekke y kesalahan. Banjur, kanggo nemokake matesi kesalahan mutlak │Δu│funktsii y, nggunakake rumus

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

ngendi │Δh│yavlyaetsya cilik kesalahan pitakonan. jumlahe │Δu│ kudu dibunderaké munggah, minangka pitungan pas dhewe iku panggantos saka tambahan ing pitungan diferensial.