A sistem linear aljabar pepadhan. sistem podho saka linear aljabar pepadhan

Ing sekolah, saben kita sinau rumus lan, mesthi, ing sistem pepadhan. Nanging ora akeh wong sing ngerti yen ana sawetara cara kanggo ngatasi mau. Dina iki kita bakal weruh persis kabeh cara kanggo mecahaké sistem linear aljabar pepadhan, kang dumadi saka luwih saka loro pepadhan.

crita

Dina iki kita ngerti sing seni mecahaké pepadhan lan sistem asalé ing kuna Babil lan Mesir. Nanging, podo ing wangun menowo sing muncul kanggo kita sawise kedadeyan saka witjaksono tandha "=", ingkang dipuntepangaken ing 1556 dening rekaman matématikawan Inggris. Miturut cara, simbol iki milih kanggo alesan: iku tegese loro perangan witjaksono podo. Pancen, conto paling apik podo ora teka munggah.

Ing ngedegaken saka aksara modern lan simbol ombone dingerteni, matématikawan Perancis Fransua Viet. Nanging, sebutan punika Ngartekno beda dina iki. Contone, alun saka nomer dingerteni kang ditetepake dening huruf Q (lat "quadratus".), Lan kotak - (. Lat "Cubus") huruf C. Simbol-simbol iki saiki koyone ora adil, nanging banjur ana cara sing paling intuisi nulis sistem linear aljabar pepadhan.

Nanging, kerugian ing cara berlaku saka solusi sing matématikawan wis dianggep mung werna positif. Mbok iki amarga kasunyatan sing angka negatif ora duwe aplikasi praktis. Salah siji cara utawa liyane, nanging pisanan bakal dianggep werna negatif wiwit sawise matématika Italia Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano lan Raphael Bombelli ing abad kaping-16. A dipikir modern, cara utama mecahaken pepadhan kuadrat (liwat Diskriminan) iki diadegaké mung ing abad ka-17 liwat karya Descartes lan Newton.

Ing tengah matematikawan Swiss abad 18 Gabriel Cramer nemu cara anyar kanggo nggawe solusi sistem pepadhan linear luwih gampang. cara iki mengko sing dijenengaké miturut jenengé, lan kanggo dina iki kita nggunakake. Nanging ing cara Dhiskusi Kramer kang sethitik mengko, nanging saiki kita bakal ngrembug pepadhan linear lan solusi sing kapisah saka sistem.

pepadhan linear

pepadhan Linear - rumus gampang karo global (s). Padha dadi kagungane aljabar ing. pepadhan Linear tinulis ing wangun umum minangka nderek: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... lan _n * x _n = b. Pengajuan saka wangun iki kita kudu ing preparation saka sistem lan matriks ing.

A sistem linear aljabar pepadhan

Definisi tembung iki: a set pepadhan sing duwe unknowns umum lan solusi umum. Biasane, ing sekolah kabeh ditanggulangi sistem karo loro utawa malah telung pepadhan. Nanging ana sistem kanthi papat utawa luwih komponen. Ayo kang ndeleng cara kanggo nulis mau mudhun supaya mengko trep kanggo ngatasi. Sepisanan, sistem linear aljabar pepadhan bakal katon luwih apik yen kabeh kemungkinan sing ditulis minangka x karo indeks cocog: 1,2,3 lan ing. Sareh, iku kudu mimpin kabeh persamaan kanggo ing wangun resmi: a ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... lan _n * x _n = b.

Sawise kabeh langkah iki, kita bisa miwiti kanggo pitutur marang kowe carane nemokake solusi sistem pepadhan linear. Akeh banget kanggo sing bakal teka ing matrik Handy.

matrik

Matrix - Tabel sing kapérang saka baris lan kolom, lan sawijining unsur ing persimpangan sing. Iki bisa dadi salah siji sing nilai tartamtu utawa global. Ing kasus paling, kanggo ngrancang unsur sing disusun ing ngisor subscripts (contone, a ₁₁ utawa ₂₃ uga). Ing indeks pisanan nuduhake nomer baris, lan liya - kolom ing. matriks ndhuwur ndhuwur lan samubarang unsur matematika liyane bisa nindakake macem-macem operasi. Mangkono, sampeyan bisa:

1) Nyuda lan nambah ukuran padha meja.

2) Multiply matrik kanggo nomer utawa vector.

3) transpose: ndandani garis matrik ing kolom, lan kolom - ing baris.

4) Multiply matrik, yen nomer larik punika witjaksono menyang siji mau sing cacahé béda-kolom.

Kanggo ngrembug rinci kabeh cara kasebut, minangka padha migunani kanggo kita ing mangsa. Ping lan Kajaba saka matriks banget prasaja. Awit kita njupuk ukuran matrik padha, saben unsur siji meja iku related kanggo saben unsur liyane. Pramila kita nambah (nyuda) loro saka unsur iki (iku penting sing padha ngadeg ing lemah padha ing matriks sing). Nalika pingan dening nomer matrik utawa vector mung Multiply saben unsur ing matrik dening sing nomer (utawa vector). Transposition - proses menarik banget. Menarik banget sok-sok kanggo ndeleng wong ing urip nyata, contone, nalika ganti orientasi tablet utawa telpon. Lambang ing desktop punika matrik, lan karo owah-owahan saka posisi, iku wis transposed lan dadi luwih akeh, nanging wonten ing dhuwur.

Ayo padha nliti liyane proses kayata matrik pingan. Senajan iku marang kita, lan ora migunani, nanging bakal weruh iku isih migunani. Multiply loro matriks bisa mung ing kondisi sing nomer kolom ing siji meja punika witjaksono menyang nomer larik liyane. Saiki njupuk unsur siji matrik line lan unsur saka kolom sing cocog. Multiply menyang saben liyane lan banjur jumlah (i.e., contone, produk saka unsur ₁₁ lan ₁₂ lan ing ₁₂ b lan ₂₂ b bakal witjaksono: a * b _{11 12} + ₁₂ * b lan _22). Mangkono, item siji Tabel, lan cara padha lagi nepsu luwih.

Saiki kita bisa miwiti kanggo nimbang carane ngatasi sistem pepadhan linear.

Gauss

Tema iki wiwit njupuk Panggonan ing sekolah. We ngerti banget uga konsep "sistem rong pepadhan linear" lan ngerti carane ngatasi wong. Nanging apa yen nomer pepadhan iki luwih saka loro? Iki bakal bantuan kita cara Gauss.

Mesthi, cara iki kang trep kanggo nggunakake, yen sampeyan wis nggawe matrik saka sistem. Nanging sampeyan ora bisa ngowahi iku lan arep ing dhewe.

Dadi, carane ngatasi kanthi sistem pepadhan linear Gauss? Miturut cara, malah sanadyan cara iki lan dijenengaké miturut jenengé, nanging katutup ing jaman kuna. Gauss wis operasi digawa metu karo persamaan, kanggo pungkasanipun kasil totalitas kanggo wangun Echelon. Sing, sampeyan kudu ndhuwur-mudhun (yen nyeleh bener) saka pisanan rumus pungkasan nyusut secara siji dingerteni. Ing tembung liyane, kita kudu nggawe manawa kita wis tak, ngomong, telung pepadhan: pisanan - telung unknowns, ing kaloro - rong ing pihak - siji. Banjur, saka rumus pungkasan, kita temokake ing dingerteni pisanan, sulih nilai ing kaloro utawa rumus pisanan, lan luwih golek kaloro variabel isih.

aturan Cramer kang

Kanggo pangembangan teknik iki penting kanggo Master skills Kajaba iku, ping saka matriks, uga perlu kanggo bisa kanggo golek panentu. Mulane, yen sampeyan ana adil mengkono iki kabeh utawa ora ngerti carane, iku perlu kanggo sinau lan dilatih.

Apa pet cara iki, lan carane nglakoni, kanggo njaluk sistem pepadhan linear Cramer? Iku banget prasaja. Kita kudu mbangun matrik nomer (meh tansah) koefisien saka sistem linear aljabar pepadhan. Kanggo nindakake iki, mung njupuk nomer dingerteni, lan kita ngatur Tabel ing urutan sing padha katulisan ing sistem. Yen sadurunge nomer punika tandha "-", banjur kita nulis koefisien negatif. Dadi, kita digawe matrik pisanan koefisien saka unknowns, ora kalebu nomer sasampunipun tandha witjaksono (mesthi, sing rumus wis suda menyang wangun resmi nalika ing sisih tengen mung sawetara, lan kiwa - kabeh unknowns karo koefisien). Sampeyan kudu nggawe sawetara matriks - siji kanggo saben global. Iki waé, ing matrik pisanan diganti dening salah siji asli saben nomer kolom karo koefisien sasampunipun tandha witjaksono. Pramila kita njaluk sawetara matriks lan banjur temokake panentu sing.

Sawise kita ketemu ing babak saklajengipun, iku cilik. We duwe matrik dhisikan, lan ana sawetara wangun matrik asalé, kang cocog kanggo variabel beda. Kanggo solusi sistem, kita dibagi determinant saka Tabel asil ing determinant utami meja. Nomer asil ing Nilai saka siji global. Kajaba iku, kita nemokake kabeh unknowns.

cara liyane

Ana sawetara cara supaya diwenehi solusi sistem pepadhan linear. Contone, supaya disebut-cara Gauss-Jordan, kang digunakake kanggo nemokake solusi saka sistem pepadhan kuadrat, lan uga hubungane kanggo nggunakake matriks. Ana uga cara Jacobi kanggo mecahaké sistem linear aljabar pepadhan. Kanthi adapts kabeh komputer lan digunakake ing komputerisasi.

kasus rumit

Kerumitan biasane occurs yen nomer pepadhan kurang saka nomer kemungkinan. Banjur kita mesthi bisa wong, utawa sistem inconsistent (IE, ora werna), utawa nomer pancasan sawijining cenderung kanggo pandjenengan. Yen kita duwe kasus liyane - iku perlu kanggo nulis solusi umum sistem pepadhan linear. Iku bakal kalebu ing paling siji global.

kesimpulan

Kene kita teka menyang mburi. Kanggo ngringkes: kita kudu ngerti apa sistem matrik, sinau kanggo nemokake solusi umum sistem pepadhan linear. Wonten ing dianggep opsi liyane. We figured metu carane ngatasi sistem pepadhan linear: eliminasi Gauss lan aturan Cramer kang. We ngedika bab kasus angel lan cara nemokake solusi.

Ing kasunyatan, Jeksa Agung bisa ngetokake iki langkung, lan yen sampeyan pengin luwih ngerti, kita maringi pitutur sampeyan maca luwih saka specialized sastra.